Đường parabol với đường chuẩn (L) và tiêu điểm (F). Khoảng cách từ một điểm cho trước Pn tới tiêu điểm luôn bằng khoảng cách từ Pn tới chân đường vuông góc của nó xuống đường chuẩn Qn.Đường parabol với đường thằng bất kì (L) vuông góc với trục đối xứng, tiêu điểm (F), và đỉnh (V). Độ dài của đoạn F - Pn - Qn luôn không đổi. Như vậy parabol tương đương với elíp có một tiêu điểm ở vô cực.

Cho một parabol có đỉnh là (0,0) và công thức là

y = a x 2 , ( 1 ) {\displaystyle y=ax^{2},\qquad \qquad \qquad (1)}

Cho điểm có tọa độ (0,f) — tiêu điểm — chắc chắn với một điểm P nằm trên parabol luôn có khoảng cách đến tiêu điểm và đường thẳng vuông góc với trục đối xứng của parabol (đường chuẩn), đường này song song với trục x. Vì điểm P có thể trùng với đỉnh, cho nên nó kéo theo rằng đường chuẩn đi qua điểm có tọa độ là (0,-f). Nên với điểm P=(x,y), điểm đó cách đều hai điểm (0,f) và điểm (x,-f). Nên cần tính được giá trị f thỏa mãn điều kiện trên.

Đặt điểm F là tiêu điểm, và điểm Q là điểm có tọa độ là (x,-f). Đoạn FP bằng đoạn QP.

‖ F P ‖ = x 2 + ( y − f ) 2 , {\displaystyle \|FP\|={\sqrt {x^{2}+(y-f)^{2}}},} ‖ Q P ‖ = y + f . {\displaystyle \|QP\|=y+f.} ‖ F P ‖ = ‖ Q P ‖ {\displaystyle \|FP\|=\|QP\|} x 2 + ( a x 2 − f ) 2 = a x 2 + f {\displaystyle {\sqrt {x^{2}+(ax^{2}-f)^{2}}}=ax^{2}+f\qquad }

Bình phương cả hai vế,

x 2 + a 2 x 4 + f 2 − 2 a x 2 f = a 2 x 4 + f 2 + 2 a x 2 f {\displaystyle x^{2}+a^{2}x^{4}+f^{2}-2ax^{2}f=a^{2}x^{4}+f^{2}+2ax^{2}f\quad }

Rút gọn hai vế, ta có,

x 2 − 2 a x 2 f = 2 a x 2 f , {\displaystyle x^{2}-2ax^{2}f=2ax^{2}f,\quad } x 2 = 4 a x 2 f . {\displaystyle x^{2}=4ax^{2}f.\quad }

Chia cả hai vế cho x² (x khác không),

1 = 4 a f {\displaystyle 1=4af\quad } f = 1 4 a {\displaystyle f={1 \over 4a}}

Đặt p=f và công thức của parabol trở thành

x 2 = 4 p y {\displaystyle x^{2}=4py\quad }

Tổng quát cho mọi parabol, với công thức ở dạng tiêu chuẩn

y = a x 2 + b x + c {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c} ,

tiêu điểm sẽ có tọa độ là

( − b 2 a , − b 2 4 a + c + 1 4 a ) {\displaystyle \left({\frac {-b}{2a}},{\frac {-b^{2}}{4a}}+c+{\frac {1}{4a}}\right)}

có thể viết lại thành

( − b 2 a , c − b 2 − 1 4 a ) {\displaystyle \left({\frac {-b}{2a}},c-{\frac {b^{2}-1}{4a}}\right)}

và đường chuẩn được xác định bởi công thức

y = − b 2 4 a + c − 1 4 a {\displaystyle y={\frac {-b^{2}}{4a}}+c-{\frac {1}{4a}}}

có thể viết lại thành

y = c − b 2 + 1 4 a {\displaystyle y=c-{\frac {b^{2}+1}{4a}}}